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Une annonce d’OpenAI sur une preuve assistée par intelligence artificielle relance un débat vieux de plusieurs décennies en mathématiques : un modèle aurait remis en question une conjecture de Paul Erdős sur le nombre de paires de points à distance unitaire dans le plan. Le détail : le mathémien Will Sawin a consacré un week-end à examiner et à clarifier la démonstration proposée par l’IA.
Un problème classique remis sous les feux
La question remonte à 1946. Erdős demandait quelle est la borne maximale du nombre de paires de points séparées d’exactement une unité dans un ensemble de n points du plan.
Des configurations régulières, comme les réseaux triangulaires ou carrés, avaient longtemps servi d’ordres de grandeur. La conjecture postulait que ce nombre croît plus lentement que toute puissance n^α pour α>1. Pendant près de quatre-vingts ans, la communauté penchait en faveur de cette hypothèse.
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Une démonstration construite grâce à la théorie algébrique des nombres
Selon l’annonce d’OpenAI, le modèle a puisé dans la théorie algébrique des nombres pour bâtir sa preuve. Il aurait utilisé un anneau d’entiers dans un corps de nombres algébriques, en faisant varier le degré des corps employés.
Cette montée en complexité — l’emploi de corps de degré croissant — permettrait d’obtenir une progression du nombre de distances unitaires plus rapide que celle anticipée par la conjecture d’Erdős. La démonstration fournie reste pour l’instant informelle, mais elle suit une logique que des mathématiciens peuvent potentiellement formaliser.
Un mathématicien humain affine et explicite
Will Sawin n’a pas seulement vérifié la cohérence générale de l’argument : il a repris chaque étape et a reformulé la preuve pour en extraire une constante explicite. Là où la version automatique parlait d’une croissance supérieure à une puissance de n, Sawin a donné une valeur concrète, « légèrement supérieure à 1,01 ».
Des chercheurs ont ensuite affiné ce résultat, portant cette valeur à environ 1,03. Cette série d’améliorations illustre la complémentarité entre l’outil algorithmique et le travail d’analyse humain. OpenAI a d’ailleurs mentionné le préprint de Sawin dans son annonce officielle.
Outil d’aide ou partenaire créatif ?
Pour Sawin, l’IA montre aujourd’hui ses forces surtout dans la recherche bibliographique et la relecture de démonstrations. En revanche, elle est moins probante pour la génération d’idées entièrement nouvelles dans des domaines techniques.
Le mathématicien insiste : « Il ne s’agit pas d’une situation où l’IA fait ce que les humains ne peuvent pas faire ». Il voit l’IA comme un instrument précieux, mais pas comme un collaborateur autonome. La responsabilité et la crédibilité des résultats demeurent du ressort des chercheurs.
Au-delà de ce cas précis, l’expérience ouvre des perspectives nuancées. L’IA peut orienter la recherche sur certaines conjectures d’Erdős — au nombre de plusieurs centaines — mais elle soulève aussi des questions méthodologiques et éthiques sur la manière dont les preuves assistées sont produites, vérifiées et reconnues.
